🧠 Logique Niveau Intermédiaire
Approfondissez votre maîtrise du raisonnement logique avec les syllogismes, la logique des prédicats et les techniques de démonstration.
📚 Référence Rapide - Symboles Logiques Niveau Intermédiaire
Symboles de base + symboles avancés pour ce niveau :
| Symbole | Nom | Lecture | Signification |
|---|---|---|---|
| ¬, ~ | Négation | "Non P" | Inverse la valeur |
| ∧, & | Conjonction | "P et Q" | Vrai si tous sont vrais |
| ∨, | | Disjonction | "P ou Q" | Vrai si au moins un est vrai |
| →, ⇒ | Implication | "Si P alors Q" | Faux uniquement si P vrai et Q faux |
| ↔, ⇔ | Équivalence | "P ssi Q" | Même valeur de vérité |
| ⊕ | XOR (Ou exclusif) | "P xor Q" | Vrai si exactement un est vrai |
| ∀ | Quantificateur universel | "Pour tout x" | Vrai pour tous les éléments |
| ∃ | Quantificateur existentiel | "Il existe x" | Vrai pour au moins un élément |
| ≡ | Équivalence logique | "P équivaut à Q" | Expressions logiquement identiques |
| ⊢ | Dérivation | "On peut dériver" | Conclusion déductible des prémisses |
💡 Astuce : Ce tableau sera votre référence constante pour tous les symboles utilisés dans ce niveau !
📚 1. Raisonnement Déductif et Inductif
Raisonnement Déductif
Va du général au particulier. Si les prémisses sont vraies, la conclusion est nécessairement vraie.
Prémisse 1: Tous les humains sont mortels
Prémisse 2: Socrate est un humain
Conclusion: Donc Socrate est mortel
Raisonnement Inductif
Va du particulier au général. La conclusion est probable mais non certaine.
Observation 1: Ce cygne est blanc
Observation 2: Ce cygne est blanc
Observation 3: Ce cygne est blanc
Conclusion probable: Tous les cygnes sont blancs (peut être faux!)
🎯 2. Syllogismes
Un syllogisme est un argument déductif composé de trois propositions: deux prémisses et une conclusion.
Formes Valides de Syllogismes:
Tous les M sont P
Tous les S sont M
Donc tous les S sont P
Aucun M n'est P
Tous les S sont M
Donc aucun S n'est P
"Tous les chats sont des félins.
Tous les félins sont des mammifères.
Donc tous les chats sont des mammifères."
Réponse: ✓ Valide (forme Barbara)
∀∃ 3. Logique des Prédicats
Extension de la logique propositionnelle permettant d'exprimer des relations et des quantifications.
Quantificateurs:
- ∀ (Pour tout) - Quantificateur universel
Ex: ∀x Humain(x) → Mortel(x) = "Tous les humains sont mortels" - ∃ (Il existe) - Quantificateur existentiel
Ex: ∃x (Chat(x) ∧ Noir(x)) = "Il existe un chat qui est noir"
Négation des Quantificateurs:
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)
- ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
"Tous les étudiants réussissent" → ∀x (Étudiant(x) → Réussit(x))
"Certains étudiants réussissent" → ∃x (Étudiant(x) ∧ Réussit(x))
"Aucun étudiant ne réussit" → ∀x (Étudiant(x) → ¬Réussit(x))
🔄 4. Règles d'Inférence
Modus Ponens:
Si P → Q et P, alors Q
Modus Tollens:
Si P → Q et ¬Q, alors ¬P
Syllogisme Hypothétique:
Si P → Q et Q → R, alors P → R
Disjonction:
Si P ∨ Q et ¬P, alors Q
Prémisse 1: S'il pleut, la route est mouillée (P → Q)
Prémisse 2: Il pleut (P)
Conclusion: La route est mouillée (Q) — Modus Ponens
💡 5. Démonstration par l'Absurde
Pour prouver P, on suppose ¬P et on montre que cela mène à une contradiction.
- Supposons que √2 est rationnel (négation de ce qu'on veut prouver)
- Alors √2 = p/q où p et q sont des entiers sans facteur commun
- En développant, on arrive à: 2q² = p²
- Donc p² est pair, donc p est pair
- Si p est pair, p = 2k, donc 4k² = 2q²
- Donc q² = 2k², donc q est aussi pair
- Contradiction! p et q ont tous deux 2 comme facteur
- Donc √2 ne peut pas être rationnel (irrationnel) ✓