📚 Référence Rapide - Symboles Logiques
Voici tous les symboles logiques que vous allez apprendre dans ce niveau :
| Symbole | Nom | Lecture | Signification |
|---|---|---|---|
| ¬ | Négation | "Non P" | Inverse la valeur (VRAI ↔ FAUX) |
| ∧ | Conjonction | "P et Q" | Vrai si les deux sont vrais |
| ∨ | Disjonction | "P ou Q" | Vrai si au moins un est vrai |
| → | Implication | "Si P alors Q" | Faux uniquement si P vrai et Q faux |
| ↔ | Équivalence | "P si et seulement si Q" | Vrai si P et Q ont la même valeur |
| ≡ | Équivalence logique | "P équivaut à Q" | Les deux expressions sont logiquement identiques |
💡 Astuce : Revenez à ce tableau chaque fois que vous avez un doute sur la signification d'un symbole !
📖 Qu'est-ce que la Logique ?
La logique est la science du raisonnement correct. Elle étudie les règles qui permettent de déduire de nouvelles vérités à partir de vérités connues.
💡 Les trois lois fondamentales
- Loi d'identité : A = A (Une chose est elle-même)
- Loi de non-contradiction : ¬(A ∧ ¬A) (Une chose ne peut pas être et ne pas être en même temps)
- Loi du tiers exclu : A ∨ ¬A (Une proposition est soit vraie, soit fausse)
🔤 Les Propositions Logiques
Une proposition est un énoncé qui peut être soit VRAI soit FAUX.
Exemples de propositions :
- "Paris est la capitale de la France" → VRAI
- "2 + 2 = 5" → FAUX
- "Il pleut aujourd'hui" → Dépend du contexte
Ce qui n'est PAS une proposition :
- Questions : "Quelle heure est-il ?"
- Ordres : "Ferme la porte !"
- Exclamations : "Bravo !"
Notation : On utilise des lettres majuscules pour représenter les propositions : P, Q, R, etc.
🔗 Les Connecteurs Logiques
Les connecteurs permettent de combiner des propositions simples en propositions composées.
Négation (NON)
Symbole : ¬P ou ~P
Lecture : "Non P"
Inverse la valeur de vérité
Conjonction (ET)
Symbole : P ∧ Q
Lecture : "P et Q"
Vrai seulement si les deux sont vrais
Disjonction (OU)
Symbole : P ∨ Q
Lecture : "P ou Q"
Vrai si au moins un est vrai
Implication (SI...ALORS)
Symbole : P → Q
Lecture : "Si P alors Q"
Faux seulement si P est vrai et Q faux
Équivalence (SI ET SEULEMENT SI)
Symbole : P ↔ Q
Lecture : "P si et seulement si Q"
Vrai si P et Q ont la même valeur
📊 Tables de Vérité
Une table de vérité liste toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour une expression logique.
Table de vérité de la Négation (¬P)
| P | ¬P |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Table de vérité de la Conjonction (P ∧ Q)
| P | Q | P ∧ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | F |
| F | F | F |
Table de vérité de la Disjonction (P ∨ Q)
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | V |
| F | F | F |
Table de vérité de l'Implication (P → Q)
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | F |
| F | V | V |
| F | F | V |
💡 Astuce pour l'implication
L'implication P → Q est fausse uniquement quand P est vrai et Q est faux. Dans tous les autres cas, elle est vraie !
Exemple : "S'il pleut, je prends un parapluie"
- Il pleut ET je prends un parapluie → Vrai ✓
- Il pleut ET je ne prends PAS de parapluie → Faux ✗
- Il ne pleut pas → Vrai quelle que soit mon action ✓
✍️ Exercice Interactif 1
Question : Si P est VRAI et Q est FAUX, quelle est la valeur de P ∧ Q ?
✍️ Exercice Interactif 2
Question : Si P est FAUX et Q est VRAI, quelle est la valeur de P ∨ Q ?
✍️ Exercice Interactif 3
Question : Si P est FAUX, quelle est la valeur de ¬P ?
✍️ Exercice Interactif 4
Question : Si P est VRAI et Q est FAUX, quelle est la valeur de P → Q ?
🎯 Lois de De Morgan
Ces lois fondamentales permettent de transformer des expressions logiques :
Première loi de De Morgan
¬(P ∧ Q) ≡ (¬P) ∨ (¬Q)
"La négation d'une conjonction est la disjonction des négations"
Exemple : "Il ne fait PAS beau ET chaud" = "Il ne fait pas beau OU il ne fait pas chaud"
Deuxième loi de De Morgan
¬(P ∨ Q) ≡ (¬P) ∧ (¬Q)
"La négation d'une disjonction est la conjonction des négations"
Exemple : "Je ne vais PAS au cinéma OU au théâtre" = "Je ne vais pas au cinéma ET je ne vais pas au théâtre"